使うデータ
次の指数の日次リターン [%] を使用。
- S&P500
- 日経225
- FTSE100
期間は2022-12-29 ~ 2023-03-09。
最もシンプルなモデル
次をDGPを仮定。
(←お手製のナンバリング;普段overleafだから使い方がわからない)
↑が真なら、ロングポジションのみの重み による、ポートフォリオの
- Expected Return は ,
- Variance は .
Markowitz のMPTに立脚して、Maximum Sharpe-ratio なポートフォリオを求めるに際し、「ふつう」は、 のそれぞれを推定値で置き換える(i.e. plug-in)なりして、次の最適化問題を解く。
( だったっけ?)
最もシンプルなベイズモデル
ここでは、 に次の仮定を加えた Generative Model を仮定して、最適ポートフォリオの事後分布を考えたい!
(太字のの出し方がわからない)
は 半正定値行列上の事前分布。
観察されたリターン で条件付けた の事後分布
を考えることで、ポステリア上の による最適ポートフォリオを考えたい。
最適化問題は同様。
発展
をBEKKの多変量GARCHで入れ替えて、 の deterministic な時間発展を記述する。Generative Model は
ここで、 は正定値行列。適当な事前分布を設定して、事後分布を考える。
MCMCの出力 から、各時点 における最適なロングポジション
による最適ポートフォリオを構成すると:
もっと
は時間を通じて一定だから、基本的には横方向にしかプルプルしません。これだとさみしいから、Time-varying expected return を仮定してみる。Generative Model は
適当な事前分布を設定してから、同様に「時変的最適ポートフォリオをサンプリング」すると、冒頭の画像が出来上がる。最適化問題も同様に
画面がやかましくなってしまうから、モンテカルロ標本からランダムに15標本選んで描画してます。
時系列的に可視化すると:
青い網掛は portfolio variance です。
これの方が、各時点におけるSharpe-ratio maximal portfolioの期待リターンとボラの時変性をモデル化できて、なおかつその不確実性も評価できるから、うれしい気がする。(しらんけど)
おわり
に予測に使えそうな構造を課して(例えばDeep Markov化)、ちゃんとモデル選択したら、更にうれしいかも
参考
Engle, R. F. and Kroner, K. F. (1995). "Multivariate Simultaneous Generalized Arch", Econometric Theory, 11(1), 122-150.