利回り曲線をベイズ推定（Diebold-Liのモデル + Stochastic Volatility）

これは何

↓こういうことをする。

具体的に、JGBのデータから

Time-varying Level (水準)
Time-varying Slope (傾き)
Time-varying Curve (曲率)
Exponential Decay (減衰)

などのイールドカーブの特徴を要約する量をベイズで推定をする。

もう少し構造を課すと予測にも使える。

Diebold-Li (2006) のモデル

満期が $\tau = (\tau_1,...,\tau_n)'$ の時刻 $t=1,...,T$ におけるイールド $\textbf{y}_t(\tau) = (y_t(\tau_1), ..., y_t(\tau_n))'$ は、次の線形ガウス型状態空間モデルによってモデル化される。

$\textbf{y}_t(\tau) = \textbf{F}(\tau) \textbf{b}_t + \textbf{v}_t, \quad \textbf{v}_t \sim \mathcal{N}(\textbf{v}_t \!\mid \! \textbf{0}_n, \Sigma_v),$

$\textbf{b}_t = \textbf{b}_{t-1} + \textbf{w}_t, \quad \textbf{w}_t \sim \mathcal{N}(\textbf{w}_t \!\mid \! \textbf{0}_3, \Sigma_w).$

なお、

$\textbf{F}(\tau; \lambda) = \begin{bmatrix}1 & f(\tau_1; \lambda) & g(\tau_1; \lambda) \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & f(\tau_n; \lambda) & g(\tau_n; \lambda)\end{bmatrix},$

$f(\tau_i; \lambda) = {1 - e^{-\tau_i \lambda} \over \tau_i \lambda}, \quad g(\tau_i; \lambda) = {1 - e^{-\tau_i \lambda} \over \tau_i \lambda} - e^{-\tau_i \lambda}.$

例えば、日本の場合、財務省のページから入手できるデータからは $\tau=(2,5,10,20,30,40)$ となる。

$\textbf{b}_t$ の各成分は、それぞれ
・イールドカーブの全体的な水準 (level)
・傾き (slope)
・曲がり具合 (curvature)
を表現する。

拡張

拡張として、Stochastic volatilityを導入し、ガウス型非線形状態空間モデルとしてモデル化する。

$\textbf{v}_t \sim N(\textbf{v}_t \!\mid \! \textbf{0}_n, \sigma^2_t \textbf{I}_n),$

$\text{log}~ \sigma^2_t = \text{log}~ \sigma^2_{t-1} + u_t, \quad u_t \sim N(u_t \!\mid\! 0, \sigma^2_u).$

イールドカーブが全体的に上下するダイナミクスを、説明可能なTime-varying levelという確率過程によって説明するか、説明不可能なlevelのlog-volatilityという確率過程によって説明するかの「選択」が可能となるように明示化する。

Juliaのコード

https://github.com/geonhee619/ForFun/tree/main/(1)%20Japanese-Yield-Curve

参考

Diebold, F. X. and Li, C (2006), "Forecasting the Term Structure of Government Bond Yields", Journal of Econometrics, 130(2), 337--364.